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在他看来，中东地区的紧张局势没有缓和迹象，目前以色列和哈马斯之间的冲突可能开始引入更大的石油干扰因素。麦克纳利强调，由地缘政治事件引发的石油供应冲击风险现在至少为30%。

之前的一篇著述“解说黎曼猜思的新几何，把数学之好意思展现得大书特书，设立数学之梦”提到，黎曼ζ函数是L函数的最简单示例：

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那么，L函数是什么呢？数学的中枢中有一个相配潜入的主题，叫作念对偶性（duality）。在线性代数中，有向量和它们的对偶对象，叫作念泛函（functional）。在量子力学中，有bra和ket。在群论中，有共轭类（conjugacy classe）和不成约暗示（irreducible representation）。在数论中，有素数和L函数。

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底下是一个相配非形式化的解释：L函数是与素数对偶的对象。咱们将会获取一个更精准的对于L函数的界说，看两个简单的例子。

L函数的两个例子

黎曼ζ函数不错被写为：

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这里，分子王人是1。一般的L函数不错被写为：

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其中这些分子是一些数的序列：

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这些数在这个序列中被称为L函数的狄利克雷系数（Dirichlet coefficients）。

这是一个L函数的例子：

1,1,0,1,2,0,0,1,1,2,0,0,2,0,0,1,2,1,0,2,0,0,0,0,3,2,0,...

这吵嘴常相配非常，简直是神奇的序列之一，未必是一个L函数粗略是一个L函数的系数。你能看出这个序列中的规矩吗？能展望出下一个数字粗略接下来的10个数字吗？

底下是一个更复杂的L函数的例子：

1,-1,-2,1,0,2,1,-1,1,0,0,-2,-4,-1,0,1,6,-1,2,0,-2，0,0,2,-5,4,…

这里的规矩是什么？

上头两个序列是Motivic L函数的例子，这是从多项式方程构造的L函数。第一个例子是从方程x正常加1等于0构造的L函数。咱们用字母K标识这个方程。

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第二个例子是从以下方程构造的L函数，咱们用字母E标识这个方程。

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当我说“从……构造”，是指一种机器，它以一个方程作为输入，生成一个序列作为输出。

淌若你思先把这个机器当作一个黑盒子来对待，不错借助Sage软件。对于第一个方程，只需要键入这一转代码：

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这里的变量是x。这个特定的方程界说了所谓的数域（NumberField），咱们条目这个数域的前20个L函数系数。

对于第二个方程，你不错输入这个代码：

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在这里咱们看不到内容的方程，而是简写成"14. a5"。这个方程界说了一个叫作念椭圆弧线（elliptic curve）的东西，然后求前20个系数。

这篇著述的主要策画是筹商这两个L函数，解释这些序列若何从方程中出现，找到其中的基础模式（规矩）。这些模式将是数学家所称的朗兰兹操办（langlands program）的实例。

LMFDB

在咱们深入这两个序列的具体情况之前，我思先给你们看一下LMFDB，即L函数和模子形式数据库（L-functions and modular forms database）。

在LMFDB中，你会找到L函数以及产生L函数的对象。

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你不错看到椭圆弧线，数域。在名东说念主堂里，有黎曼zeta函数，拉马努金delta函数等等。刻下，点击网页左上角的“Universe” ，你会看到：

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在这里，咱们看到了这个驰名的图片，展示了朗兰兹操办中不同数学全国之间的估量。最上头是L函数。L函数不错被视为寂寞的实体，但咱们往往合计L函数是由某个其他对象构造的。而这些其他对象，我心爱称之为原始对象。在这张图片中，咱们不错看到三大类的原始对象。Motivic world在右边，Automorphic world在左边，伽罗瓦暗示不才面。是以每个原始对象王人会产生我方的L函数。

在数学中，Motive是一种概括对象，用于妥洽和交融代数几何中多样不同的同态类。它们被合计是数学中的粒子”，是一种用于筹商和交融更复杂数学结构的器具。Motive的见识来自于亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）在1960年代的一些思法，这些思法策画是为了照应一些基础问题，包括一些来自数论和代数几何的问题

刻下，也曾有两个Motive了，因为任何多项式方程王人不错被视为一个Motive。是以K是一个Motive，E亦然一个Motive。

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Motivic K有它的L函数“L下标K” ，

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对于E亦然近似的，

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这即是咱们刚刚看到的那两个数字序列。刻下，被称为“朗兰兹互换（langlands reciprocity）”的猜思说，当有一个Motivic L函数，也即是从右边（Motivic world）过来的L函数，不错从左边（Automorphic world）找到一个Automorphic对象，能给出相通的L函数。

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淌若有一个Motivic L函数，何况你告捷地解说了一个对应的Automorphic对象存在，那么L函数就具有所谓的认识延拓和函数方程。这反过来意味着，不错商讨特定的L函数的黎曼假定。到刻下罢休有以下的主要不雅点：

这里存在着质数和L函数之间的对偶性，不错这么交融：每个L函数不错被视为某个希尔伯特空间中的一个向量。然后，每个质数不错被视为对偶希尔伯特空间中的一个向量。

存在一种机器，它以多项式方程作为输入，产生L函数作为输出。

回到这两个例子，K和E，以及它们的L函数。

K的好意思妙性

让咱们看一劣等一个L函数。这个L函数的序列是：

1,1,0,1,2,0,0,1，……

让咱们把这些数字放入一个表格，

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第一个2是在a_5这里。在a_25这里有一个3。启动的项是1,1,0,1,2。我思给出一个若何从等式x^2+1=0构造这个序列的简化解释。咱们知说念，x^2+1=0用于从实数过渡到复数。咱们要作念的是从实数起先，引入一个新的数字，称之为i，其性质是i^2+1=0。使用加法和乘法这两个运算，不错生成更多的数字，扫数这些数字加在沿路，称之为R与i的并集，粗略用一个非常的象征C暗示，即是复数。

刻下，咱们不错再作念一次相通的事情，但此次从整数起先，而不是实数。是以，像往常一样引入新的数字i，沟通扫数不错通过乘法和加法产生的数字。这些数字的采集被写稿Z与i的并集，

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莫得非常的象征暗示它们，它们被称为高斯整数（Gaussian integers）。复数不错被视为一个二维平面。然后高斯整数即是具有整数系数的点的子集。举例3+2i或2-i，是以扫数网格的交点王人是高斯整数。

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界说：一个高斯整数a加bi的范数（Norm）即是a正常加b正常。举例，3+2i的范数是

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刻下让咱们诡计几个小的高斯整数的范数。0的范数是0，1的范数是1，i的范数亦然1。1+i的范数是2，2的范数是4，2+i的范数是5。就这么无间下去。

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刻下让咱们数一数，有若干点的范数是1，总共有四个点，

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但是有一个规矩，那即是当一个点不错通过90度旋转造成另一个点时，他们就被合计是团结个点。是以这四个点，它们只当作一个，这个规矩来自于乘以i等同于旋转90度的事实。

是以，范数为1的点有一个。范数为2的也唯惟一个点。范数为3的点则莫得。范数为4的点在图片上有两个，但它们被当作团结个。范数为5的点有两个。范数为6和7的点王人莫得，刻下你可能也曾认出了这个序列：1101200。

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让咱们看下25，它有三个点，

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这在一定进度上解释了方程x^2+1=0若何产生序列1101200……，这即是K的L函数。

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是以咱们也曾从方程过渡到了L函数。刻下有两个主要的挑战。

最初，还谢绝易看出如安在作假际诡计高斯整数的情况下诡计序列的下一项或接下来的10项。有莫得递归或某种规矩不错字据前边的项生成下一个项呢？

第二，咱们以某种形貌从方程x^2+1=0获取了L函数。有莫得一种顺次不错径直获取L函数，而不使用方程呢？

望望这个：

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我所作念的是将这个序列写在顶部，然后罢黜一个要领。这个要领是一个轮回，先减去，然后复制效力。

取第一个顶部元素1，减去底下写的扫数内容，底下莫得东西，是以1减去莫得东西即是1，然后将1的副本散布在第一转：

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在第二列，取顶部元素1，减去底下扫数内容。1-1即是0，然后将0的副本散布在第2行，以2为间距。

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皇冠体育

第三列，取顶部元素0，减去底下扫数内容。0-1=-1，然后将-1的副本散布在第3行，以3为间距，以此类推。

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第四列，有1-1-0=0，

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第五列，获取的是2-1，也即是1。

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然后0减这些数字，即是0，以此类推。

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让咱们无间：

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你看到规矩了吗？望望对角线：

1、0、-1、0、

1、0、-1、0、

1、0、-1、0。

这即是规矩。咱们刻下不错用这个简单的周期性对角线重构L函数，只需按相背的标的操作。是以我最初填写对角线，然后像之前一样在行均分填写副本，减法的反操作是加法，是以我只需要将每一列进取乞降就不错获取顶部的元素。1的和是1，1和0的和是1，1加-1是0，1加0加0是1，1加1是2，以此类推。

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这么，咱们根柢莫得使用方程K，咱们用一个更简单的对象，即对角线，重构了L函数。

刻下这个对角线内容上是一个automorphic L函数。它是当然界中最简单的自守L函数之一，咱们使用这个automorphic对象，以某种真谛上与黎曼zeta函数沿路，重构了原始的Motivic L函数，其中系数是1、1、1、1、1、1、1、1、1、1。

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E的好意思妙之处

朗兰兹操办。咱们需要再给出一个例子。回思一下从方程E得出的序列。方程是：

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L函数是：

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这台机器摄取一个方程，给出一个序列，这在前边的例子中使用高斯整数的计数描摹。在这个例子中，我将用不同的说话描摹相通的机器。

刻下咱们将对不同的质数p进行模p解方程的计数。

对于任何正整数m，每当有一个带有整数系数的多项式方程时，就不错诡计模m的解的数目，咱们从模2起先。

在这个例子中，先对方程的双方进行因式理解会更快。

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模2意味着x和y只但是0和1。扫数的诡计王人是在模2下完成的，是以举例1+1=0。

右边老是零，因为x粗略x加1王人是0。

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因此左边也必须是零，那么可能是当y为0时，然后x不错是任何值，0或1。

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粗略，淌若y是1，那么括号里的值必须为零，这唯独在x为0时才会发生。

总的来说，模2下有三个解：

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当y为0时，x不错是任何值，当y为1时，x为0。而解的数目，3，恰是咱们思要找的。

刻下让咱们诡计模3下的解的数目。

x和y将是0，1或2。

扫数的诡计王人是在模3下完成的。右边是三个贯穿整数的乘积，其中一个会是0。因此扫数这个词乘积王人是0，是以左边也必须是0。刻下，要么y是0，x不错是任何值，要么y是1，那么括号里的必须为0，这意味着x是1。临了，y不错是2，那么x必须是0。

总的来说，有五个不同的解稳当模3的方程。

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下一个质数是5，解的计数近似，仅仅更多的分类使命。模5下会有5个解。

把这些情况作念成一个大的表格：

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第一转是n：1、2、3、4、5、6、7、8、9等等。第二行是质数p：2、3、5、7、11、13。在这些质数底下是解的数目。模2有3个解。模3有3个解等等。

咱们的策画是从这些解的数目中构造出L函数，将这个历程分为三步。最初对于质数，只需用质数自己减去解的数目。2减3等于-1，3减5等于-2，5减5等于0等等。临了一个是13减17，等于-4。

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对于任何方程，可能会有某些质数不同。咱们称它们为坏质数，对于这个方程E，不错诡计出，坏质数是2和7。我在这里莫得展示诡计历程。

第二步，对于质数的幂。对于2的幂（1、2、4、8），2是一个坏质数，对于坏质数的规矩是，质数的幂对应的值应该是一个几何序列，从1起先。是以有1、-1，然后再有1，然后-1，这会在2的扫数幂之间轮换出现1和-1。

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对于3的幂，3是一个好的质数，规矩略略复杂一些，但是有一个递归公式不错求出3的幂对应的值，这在本例中为取-2（3对应的值）的正常，也即是4，然后减去质数3。这获取了9的值为1。

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第三步，对于剩下的n的值，通过乘法性来诡计。举例，对于数字6，6是2乘以3，是以为了诡计我需要的数字，需要取-1（2对应的数字）乘以-2（3对应的数字），获取了2。对于10，10是2乘以5，需要取-1乘以0，获取的是0。临了，淌若我将12理解为质数的乘幂，获取的是4乘以3，是以需要取-2乘以1，获取了-2。

最终的效力是：

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刻下，咱们也曾从不同质数模下的解计数中构造出了L函数。这个历程简直适用于任何方程。最初是质数，然后是质数的幂，然后是扫数其他的数字。

但是仍然面对着和前边的例子中一样的两个主要挑战。最初，有莫得一种规矩，不错诡计出序列中的下一个元素，其次，有莫得一种顺次不错径直获取L函数，而不需要使用方程？

这里需要借助一些“硬币”来解释接下来的问题。 

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红色硬币的面额是1、2、3、4、5、6、7……

蓝色硬币的面额是2、4、6、8、10、12……

黄色硬币的面额是7、14、21、28……

绿色硬币的面额是14的倍数。

规矩是每种类型的硬币王人有无尽多。

假定我要给你1块。有若干种形貌？唯惟一种形貌，给你一枚红色的一块钱硬币。

假定我要给你2块。有若干种形貌？

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不错给你两个红色1块钱，粗略一个红色的2块钱，粗略一个蓝色的2块钱，一共有3种不同的形貌。

那3块钱呢？

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有4种不同的形貌。

将扫数这些组合情况放入一个表格中。

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从0块钱起先，唯惟一种形貌，那即是不给你任何硬币。2块钱3种形貌，3块钱4种形貌，然后是9、12、23、32、55、76、122等等（这是一个斐波那契数）。

底下是一个往往的乘法表：

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也许你会说这很败兴，但是望望对角线之和：

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他们是1、4、10、20……。让咱们用两个规矩来构造一个新的、更令东说念主简洁的乘法表。

最初，一边是这些硬币组总共数，1、1、3、4、9、12、23。第二个规矩，对角线之和应该是序列：1、0、0、0、0、0、0、0……

第一个对角线之和应该是1，是以我这里需要一个1。这意味着我必须把1放在顶部，因为1乘以1是1。然后是1乘以3是3，1乘以4是4，等等：

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刻下第二个对角线之和应该是0。

这意味着第一转第二列是-1，然后顶部应该是-1。这么不错填写出第二列：

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最终的效力是：

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咱们也曾使用硬币构建了L函数，何况再次，这个历程的引东说念主珍视的方位在于，咱们构建了E的L函数，却透顶莫得使用方程。

刻下，你可能会说，对于更大的n，比如20块钱，组合的数目跨越3000个，这种硬币计数变得相配耗时。

但是，咱们不错用生成序列的说话来再行描摹这个硬币问题，有了这个器具，就很容易诡计很大的数。这个L函数的生成序列是：

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归来一下，咱们不错从方程E中得出L函数，也不错通过透顶不同的顺次构建它。

内容上，这个生成序列是一个automorphic 对象。更准确地说，它是一个模形式（modular form），它给你的L函数与方程疏导，而方程是一个椭圆弧线（elliptic curve）的例子。

对于朗兰兹操办

我思谈谈更大的图景。

今天的朗兰兹操办，包括了令东说念主头晕眼花的很多不同的分支，但原始的主要分支，径直与L函数关联，不错被称为全局数域（Global number fields），而这个主要分支包括两个主题。

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一个主题是函子性（Functoriality）；另一个主题是互惠性（Reciprocity）。互惠抒发的思法是，任何motivic对象王人有一个相应的automorphic 对象，具有疏导的L函数。对应关系的两侧的对象王人有一个维度，有时被称为秩。朗兰兹的互惠是对于任何维度的对象的声明，1、2、3、4、5等等。椭圆弧线和模子形式之间的对应关系，因为费马大定理而绝顶出名，是二维朗兰兹互惠的一部分。这即是咱们思通过第二个例子，称为E，来抒发的。

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在一维，朗兰兹互惠包括了被称为阿廷互惠（Artin reciprocity）的东西，阿廷互惠的最浅坑诰况是二次互惠，高斯发现的。他称之为黄金定理。咱们今天的第一个例子，K，是二次互惠定律的一个非常的案例，是以在某种真谛上，它是一维朗兰兹互惠的最简单的案例。

淌若你思读一些对于朗兰兹操办相配易于交融的东西澳门巴黎人百家乐，我会推选Edward Frenkel写的这本《Love and Math》，它是令东说念主难以置信的美艳。